最长递增子序列

题目描述

给你一个整数数组 nums，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示

• 1 <= nums.length <= 2500
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4

解题思路

这是一道经典的动态规划问题，也可以使用二分查找进行优化。

方法一：动态规划

核心思想

定义 dp[i] 表示：以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。

状态转移方程

对于每个位置 i，遍历所有在 i 之前的位置 j：

• 如果 nums[i] > nums[j]，则可以将 nums[i] 接到以 nums[j] 结尾的递增子序列后面
• 状态转移：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

$$
dp[i] = \max_{0 \leq j < i, nums[j] < nums[i]} (dp[j] + 1)
$$

边界条件

• dp[i] = 1：每个元素自己就是一个长度为 1 的递增子序列

代码实现

方法一：动态规划

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        dp = [1] * len(nums)
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j] :
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        return max(dp)