最小路径和

题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明： 每次只能向下或者向右移动一步。

示例

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 200

解题思路

使用动态规划，定义 dp[i][j] 表示到达位置 (i,j) 的最小路径和。

由于只能向右或向下移动，状态转移方程为：

$$
dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
$$

边界情况：

• 第一行只能从左边来：dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
• 第一列只能从上面来：dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

代码实现

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        n = len(grid)
        m = len(grid[0])
        dp = [[0] * m for _ in range(n)]
        dp[0][0] = grid[0][0]
        for i in range(1, m):
            dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i]
        for i in range(1, n):
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
        for i in range(1, n):
            for j in range(1, m):
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
        return dp[n-1][m-1]