戳气球

题目描述

有 n 个气球，编号为 0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1 或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例

示例 1：

输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

示例 2：

输入：nums = [1,5]
输出：10

提示

• n == nums.length
• 1 <= n <= 300
• 0 <= nums[i] <= 100

解题思路

这是一道经典的区间动态规划问题。

核心思想

本题使用逆向思维，从戳破最后一个气球开始考虑。

定义 dp[i][j] 表示：戳破开区间 (i, j) 之间所有气球能获得的最大硬币数（不包括 i 和 j）。

为了处理边界情况，我们在原数组两端各添加一个值为 1 的虚拟气球：

$$
\text{new_nums} = [1] + \text{nums} + [1]
$$

状态转移方程

假设最后戳破的是位置 k 的气球（i < k < j）：

$$
dp[i][j] = \max_{i < k < j} { dp[i][k] + dp[k][j] + \text{new_nums}[i] \times \text{new_nums}[k] \times \text{new_nums}[j] }
$$

遍历顺序

• 区间长度 len 从 2 开始递增到 n+1
• 计算每个区间 dp[i][j] 的最大值

代码实现

class Solution:
    def maxCoins(self, nums: List[int]) -> int:
        nums = [1] + nums + [1]
        n = len(nums)
        dp = [[0]*n for _ in range(n)]
        for length in range(2, len(nums)):
            for i in range(0, n - length):
                j = i + length
                for k in range(i+1, j):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[j] * nums[k])
        return dp[0][n-1]