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不同路径

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题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 Start）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 Finish）。

问总共有多少条不同的路径？

示例

示例 1：

1
2
输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

1
2
3
4
5
6
7
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

1
2
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

1
2
输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示

  • 1 <= m, n <= 100
  • 机器人只能向下或向右移动

解题思路

这是一道经典的动态规划问题，也可以使用数学中的组合数来解决。

动态规划

定义 dp[i][j] 表示：从左上角到达位置 (i, j) 的不同路径数。

状态转移方程

机器人只能从上方或左方到达当前位置，因此：

$$
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
$$

边界条件

  • 第一行 dp[0][j] = 1（只能从左向右移动）
  • 第一列 dp[i][0] = 1（只能从上向下移动）

代码实现

1
2
3
4
5
6
7
class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[1] * n for _ in range(m)]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[m-1][n-1]