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题目描述

给你两个单词 word1 和 word2，请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

  • 插入一个字符
  • 删除一个字符
  • 替换一个字符

示例

示例 1：

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输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

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输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

提示

  • 0 <= word1.length, word2.length <= 500
  • word1 和 word2 由小写英文字母组成

解题思路

这是一道经典的动态规划问题。

核心思想

定义 dp[i][j] 表示：将 word1[0:i] 转换成 word2[0:j] 的最少操作数。

换句话说，就是word1 前 i 个字符 变成 word2 前 j 个字符

状态转移方程

对于当前位置 dp[i][j]，我们需要考虑以下四种情况：

  1. 删除操作：删除 word1 的第 i 个字符（即 word1[i-1]）
    $$dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1$$

  2. 插入操作：在 word1 中插入 word2 的第 j 个字符（即 word2[j-1]）
    $$dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1$$

  3. 替换操作：word1[i-1] 与 word2[j-1] 不匹配，需要替换
    $$dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1$$

  4. 无需操作：word1[i-1] 与 word2[j-1] 匹配，无需任何操作
    $$dp[i][j] = dp[i-1][j-1]$$

综合以上情况：

$$
dp[i][j] =
\begin{cases}
dp[i-1][j-1] & \text{当 } word1[i-1] = word2[j-1] \
\min(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1, dp[i-1][j-1] + 1) & \text{当 } word1[i-1] \neq word2[j-1]
\end{cases}
$$

边界条件

  • 当 i 为 0 时，dp[0][j] 表示将空字符串转换为 word2[0:j]，需要进行 j 次插入操作。
  • 当 j 为 0 时，dp[i][0] 表示将 word1[0:i] 转换为空字符串，需要进行 i 次删除操作。

代码实现

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class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        n, m = len(word1), len(word2)
        dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
        for i in range(n+1):
            dp[i][0] = i
        for i in range(m+1):
            dp[0][i] = i
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, m+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(
                        dp[i-1][j],
                        dp[i][j-1],
                        dp[i-1][j-1]
                    ) + 1
        return dp[n][m]